教师未婚生育是一种个人的私人事务，教育机构应当尊重教师的个人权益，保护其隐私，不得歧视或对待其不公平。

处理教师未婚生育的问题应当依据各国和地区的法律法规，以及相关劳动法规定，以下是一些可能的处理方法：

1. 尊重教师的选择权：教师未婚生育是其个人的选择，教育机构应当尊重教师的意愿和选择权，不得强制要求教师终止婚姻或进行其他不合法的处理。

2. 提供法律保障：教育机构应当为未婚生育的教师提供法律保障，确保其享有与已婚教师同等的权益，如产假、福利待遇等。

3. 提供支持和帮助：教育机构可以为教师提供必要的支持和帮助，如提供相关的咨询服务、照顾孕妇教师的工作环境等。

4. 建立平等和包容的工作环境：教育机构应当积极倡导性别平等和包容的工作环境，消除对未婚生育教师的歧视，确保其能够平等地参与工作并得到公正的评价。需要注意的是，不同国家和地区对于未婚生育的处理可能存在差异，建议教师及教育机构在遇到这类情况时请咨询当地的法律专业人士。

公务员和教师是两个不同的职业。无论是公务员还是教师未婚生育(无持生育证生育)都得受处罚。