监理工程师证调动的步骤如下：

提出申请：

监理工程师需要向其所属单位提出调动申请，并说明调动原因、调动地点、调动时间等相关信息。

确定调动方案：

原单位应根据监理工程师的申请和实际情况，确定调动方案，包括调动时间、地点、工作职责等。

签订协议：

原单位和调入单位应签订调动协议，明确双方责任和义务，保障监理工程师权益。

办理手续：

监理工程师应向原单位提出辞职申请，并办理相关手续，如离职手续、社保转移等。

转移证书：

监理工程师需要办理证书转移手续，提交相关材料，然后到新单位注册。

安排工作：

调入单位应根据监理工程师的工作经验和专业技能，安排合适的工作任务，并提供必要的培训和支持。

调动后跟踪：

调动后，原单位和调入单位应保持联系，了解监理工程师的工作情况和生活情况，及时解决工作和生活中的问题。

建议提前咨询当地建设部门或相关机构，了解具体的调动流程和所需材料，以确保调动过程顺利进行。